Plauderei über Mathe

Wenn a die Kantenlänge des Quadrates ist, isst der Bub ein Quadrat mit der Kantenlänge a/2. Prozentual also (a/2)^2/a^2 =( a^2/4)/a^2=1/4, also 25%.

Entweder Alles oder Nichts. Schließlich wird gegessen, was auf den Tisch kommt! Reine Erziehungsfrage.

Wieder gelöscht, habe einen Fehler bei der Integration gemacht. Mein Ansatz für die Grenze zwischen den beiden Bereichen des Brotes r = 1 / (sin(phi) + 1) für phi zwischen pi/4 und pi/2 (leider kann ich die zugehörige Skizze gerade nicht einscannen). Dann Integration über r und phi mit Funktionaldeterminante r wegen Polarkoordinaten...

25% sind es jedenfalls nicht, da der minimale Abstand zum Rand im Allgemeinen nicht auf dem Strahl vom Mittelpunkt des Brotes liegt.

Für mehr als eine Skizze zur Lösung nehme ich mir jetzt keine Zeit

Passen ca. 21,9%?

Zitat von raffaello:

Passen ca. 21,9%?

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Ja! Wie hast du es gelöst?

Wie schon oben beschrieben, aber gerne auch ausführlicher: für Punkte mit gleichem Abstand r zum Mittelpunkt und zur Kante gilt die folgende Skizze für einen Quadranten mit dem Mittelpunkt des Brotes rechts unten, wenn der Polarwinkel phi zwischen pi/4 und pi/2 ist - für den Winkel von 0 bis pi/2 muss später ein Faktor 2 ergänzt werden.



An der rechten Kante lässt sich ablesen: 1 = r + r * sin(phi) bzw. r = 1 / (sin(phi) + 1)

Für die Fläche A muss nun doppelt integriert werden, wobei das innere Integral über den Radius erfolgt, da dieser von phi abhängt. Außerdem muss die Funktionaldeterminante r für die Verzerrung durch die Polarkoordinaten berücksichtigt werden:

A = 2 * int( int(r, r = 0 .. 1 / (sin(phi) + 1)), phi = pi/4 .. pi/2)

(Vorfaktor 2 von oben)

Das innere Integral ist trivial, das äußere dann kniffliger. Es ergibt sich in etwa A = 0,21895.

Es geht auch ohne trigonometrische Funktionen. Ich habs so gelöst:

Der Einfachkeit halber nehmen wir an dass das Brot begrenzt wird durch |x|<1, |y|<1.
Der Teil der gegessen wird sind also die Punkte so dass sqrt(x^2+y^2) < min (1-|x|, 1-|y|).

Da das ganze symmetrisch ist reicht es wenn wir uns den oberen Quadranten anschauen, also 0<|x|<y. Die Gleichung vereinfacht sich dadurch zu

sqrt(x^2 + y^2) < 1-y

Aufgelöst nach x ergibt dies:

y< -x^2/2 + 1/2

also eine Parabel.

Die Endpunkte liegen auf der Linie |x|=y., also (sqrt2-1,sqrt2-1) und (1-sqrt2,sqrt2-1).

Jetzt können wir durch Integration die Fläche zwischen der Parabel und der X-Achse finden.
Wenn wir die Funktion oben von 1-sqrt2 bis sqrt2-1 integrieren, erhalten wir 2/3 * (2-sqrt2).

Davon müssen wir noch die Fläche der beiden Dreiecke mit Breite und Höhe sqrt2-1 abziehen.
Damit ergibt sich die Lösung (4*sqrt2-5)/3, oder etwa 21,9%.

Allerdings kommt man dort, wo sie in der Physik auftritt, auch ganz ohne Zeta-Funktion aus. Der endliche Teil, den man durch ganz normales Regularisieren mit einem Cutoff bekommt, ist =-1/12 und der Rest lässt sich in einem Counterterm auffangen.
Aber es gibt einige, die durch die Aussage "1+2+...=-1/12" getriggert werden ;)

Zitat von Häretiker:

Kommt darauf an, was Du unter dieser Summe verstehst.

Grüße
Häretiker

PS:
https://4gravitons.wordpress.com/20...natural-numbers-zeta-function-regularization/

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Zitat von Klaus6:

Nein, leider falsch. Bitte auch Lösungsidee beschreiben!

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Ist das dann bei dem Toast nicht ein Quadrat mit der halben Kantenlänge?

Also bei 10cm kantenlänge und Mindestabsand 2,5cm vom Rand- 5 cm Kantenlänge

Statt 100 qcm nur 25qcm also 25%

Geht bestimmt auch als Formel, hatte aber nur Mathe GK...

Zitat von Klaus6:

Es geht auch ohne trigonometrische Funktionen. Ich habs so gelöst:

Der Einfachkeit halber nehmen wir an dass das Brot begrenzt wird durch |x|<1, |y|<1.
Der Teil der gegessen wird sind also die Punkte so dass sqrt(x^2+y^2) < min (1-|x|, 1-|y|).

Da das ganze symmetrisch ist reicht es wenn wir uns den oberen Quadranten anschauen, also 0<|x|<y. Die Gleichung vereinfacht sich dadurch zu

sqrt(x^2 + y^2) < 1-y

Aufgelöst nach x ergibt dies:

y< -x^2/2 + 1/2

also eine Parabel.

Die Endpunkte liegen auf der Linie |x|=y., also (sqrt2-1,sqrt2-1) und (1-sqrt2,sqrt2-1).

Jetzt können wir durch Integration die Fläche zwischen der Parabel und der X-Achse finden.
Wenn wir die Funktion oben von 1-sqrt2 bis sqrt2-1 integrieren, erhalten wir 2/3 * (2-sqrt2).

Davon müssen wir noch die Fläche der beiden Dreiecke mit Breite und Höhe sqrt2-1 abziehen.
Damit ergibt sich die Lösung (4*sqrt2-5)/3, oder etwa 21,9%.

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und jetzt bitte noch so formulieren, dass es auch ein Nicht-Mathe Dozent versteht;)

zumal die Krustenbreite ja variiert

Zitat von gastspiel:

und jetzt bitte noch so formulieren, dass es auch ein Nicht-Mathe Dozent versteht

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Ich verstehe zwar auch nur Bahnhof aber die Frage in Verbindung mit der Skizze von Raffaello lässt für mich nur einen logischen Schluss zu: die Quadratur des Kreises. Endlich weiß ich, was damit gemeint ist.

Zitat von gastspiel:

[...]
zumal die Krustenbreite ja variiert

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Hi Gastspiel,

ja, da hatte ich auch schon drüber nachgedacht, aber ich glaube, das ist hier nicht soo wichtig, es ist ja im Prinzip nur eine mathematische Überlegung, und der Mathematiker würde sagen: Es wird durch eine Linie begrenzt, ( hier also die innerste Innenlinie der äh äußeren, unschmackhaften Brotkruste ).

LG, -Rev.-

Zitat von gastspiel:

zumal die Krustenbreite ja variiert

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Danke.

Zitat von Barratt:

Zwar hat Mathematik in weiten Teilen mit operationalisierter Logik zu tun, aber fürs "logische Denken" braucht es begriffliche Inhalte, die man nur begrenzt auf Formeln reduzieren kann.

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Genau so ein Beispiel für "semantische Unschärfen", die mich an Textaufgaben immer wieder irritiert/verärgert haben (in diesem Zusammenhang das Eigenzitat aus meinem Eingangsbeitrag).

Das geht doch schon ganz früh los. Beispiel: "Onkel Erwin hat eine Schrittlänge von 80 cm. Welche Strecke legt er zurück, wenn er 123 Schritte macht?"

Vielen erscheint das sonnenklar und "logisch". Ist es augenscheinlich in der Vorstellung von Mathematikbuchschreibern auch.

Zitat von Barratt:

Im Mathematikunterricht in der Schule ist man vor allem damit konfrontiert, Dinge hinzunehmen und diese hingenommenen Dinge möglichst ohne störende Nebengedanken anzuwenden.

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Jeder, der schon mal einen Parcours abgegangen ist (oder auch nur einen Spaziergang gemacht hat), weiß aber, dass die anatomisch theoretisch vorgegebene Schrittlänge in der Realität nie völlig gleich ist. Sie ist abhängig von den Bodenverhältnissen, dem Geländeprofil, vom Schuhwerk, von der Temperatur, der Tagesverfassung, ob Erwin unterwegs eine anschwirrende Wespe abwehren muss etc.

Zitat von Klaus6:

dass er von einem Butterbrot nur die Teile isst, die näher am Zentrum dran sind als am Rand.

Das Butterbrot ist exakt quadratisch. Welchen Anteil (in Prozent) des Butterbrots wird er essen?

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Bei diesem Beispiel würde ich mich vor allem daran stören, dass der Butterbrot sich durch den Aufstrich von Butter verdichtet. Je nach Konsistenz des Teigs und Streichfähigkeit der Butter verzerrt es sich. Ich bin also gezwungen, diese für mich realistischen Nebengedanken willkürlich herunterzuschlucken und sturheil die passende Formel anzuwenden, obwohl ich weiß, dass das Ergebnis der Realität nicht entspricht.

Das ist die Spielregel, und somit auch ok. Aufhänger der Ausgangsdiskussion war die von mir bestrittene Behauptung, der schulische Mathematikunterricht sei so wichtig (viel wichtiger als das Erlernen von Noten), weil er logisches Denken fördere. Sobald ich anfange zu denken, sind nicht wenige schulische Textaufgaben unsinnig. Ich lerne also, das Denken tunlichst bleiben zu lassen und die richtige Formel anzuwenden.


Vielleicht bin ich ja einfach nur schräg drauf, das will ich gar nicht ausschließen. Ich habe schon beim Einschulungstest den stellvertretenden Schulleiter darauf hingewiesen, dass die Aufgabenstellung nicht eindeutig und die Aufgabe somit nicht zu lösen ist, falls er sie nicht zu präzisieren gewillt ist. Das hat mich damals so irritiert, dass ich mich bis heute an die Szene erinnern kann.

Vermutlich wird der Abstraktionsschritt von der konkreten physikalischen oder alltäglichen zur idealisierten mathematischen Anschauung zu wenig thematisiert.

Und auch die Tatsache, daß hier bewusst oder unbewusst eine Einschränkung auf bestimmte Aspekte und somit Vernachlässigung anderer Aspekte stattfindet.

Zitat von Barratt:

Bei diesem Beispiel würde ich mich vor allem daran stören, dass der Butterbrot sich durch den Aufstrich von Butter verdichtet. Je nach Konsistenz des Teigs und Streichfähigkeit der Butter verzerrt es sich. Ich bin also gezwungen, diese für mich realistischen Nebengedanken willkürlich herunterzuschlucken und sturheil die passende Formel anzuwenden, obwohl ich weiß, dass das Ergebnis der Realität nicht entspricht.

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Das ist sicher ein guter Einwand und generelles Problem von Textaufgaben. Aber der Sinn dieser Texte ist, die Aufgabe anschaulich zu machen und Erkenntnisse der Art "den Prozentsatz kann ich über die Fläche bestimmen" zu fördern. Es ist nicht der Sinn dieser Texte, reale Situationen aus dem praktischen Leben darzustellen. Dies wäre auch viel zu kompliziert. Man kann einfach bei Mathe Textaufgaben davon ausgehen, dass alle Komplikationen, die im realen Leben auftreten könnten, bei dieser Aufgabe nicht berücksichtigt werden, sofern sie nicht explizit erwähnt werden, und dass implizit einige übliche "Idealisierungen" vorgenommen werden, also zum Beispiel eine dünne Kruste als Linie der Breite 0 angenommen wird.

Die Alternative wäre halt, einfach nur die symbolische Aufgabe zu stellen: "Gegeben sei ein Quadrat. Berechnen Sie den Anteil der Punkte, die näher am Mittelpunkt als am Rand des Quadrats sind".

Mathematik hat erstmal nichts mit der Realität zu tun, und das ist auch gut so, denn die Realität ist viel zu kompliziert um mathematisch präzise Aussagen darüber treffen zu können.

Eigentlich sind es zwei wichtige Kompetenzen, die der Mathematikunterricht vermitteln sollte. Neben dem reinen logischen Denken, die Fähigkeit, sinnvoll zu abstrahieren.

Und das ist eben kein (strikt) logisches Denken. Neben der Frage, ob man die Kruste jetzt zu einer Line idealisiert, ist es doch noch nichtmal zwingend, das Toast überhaupt als ein Gebiet in R^2 zu beschreiben, geschweige denn als ein Quadrat, wenn es nicht dabeigestanden hätte.

Man abstrahiert eben so, daß man mit dem vorhandenen Handwerkszeug zu einer sinnvollen Lösung kommt. Wenn man gewissenhaft ist, und es nicht nur um eine Übungsaufgabe handelt, macht man sich dann auch noch Gedanken, welchen Einfluss die weggelassenen Apekte auf das Ergebnis haben könnten und somit, wie viel das Ergebnis wieder mit dem ursprünglichen Problem zu tun hat.

Zitat von HoeHue:

Eigentlich sind es zwei wichtige Kompetenzen, die der Mathematikunterricht vermitteln sollte. Neben dem reinen logischen Denken, die Fähigkeit, sinnvoll zu abstrahieren.

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Und es wäre toll, wenn das auch mal explizit im Matheunterricht erwähnt werden würde. Um den Leuten klar zu machen: Wenn ihr irgendwie quantitive Aussagen über die Welt gewinnen wollt, braucht ihr mehr oder weniger beide Aspekte.

Kaum eine Wissemschaft kommt gänzlich ohne aus.


Zu Schulbuchaufgaben aus der Abteilung 'abstruse Inhalte':
"..
„Blaue Sterne haben eine Temperatur von x Grad C; Rote eine von y. Karl beobachtet drei blaue und einen roten Stern. Wie heiß sind alle zusammen?“
..."
https://de.wikipedia.org/wiki/Lehrbuch#Marktsituation

Grüße
Häretiker

Zitat von Klaus6:

Die Alternative wäre halt, einfach nur die symbolische Aufgabe zu stellen: "Gegeben sei ein Quadrat. Berechnen Sie den Anteil der Punkte, die näher am Mittelpunkt als am Rand des Quadrats sind".

Mathematik hat erstmal nichts mit der Realität zu tun

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Diese Art der Aufgabenstellung fände ich angemessen.

Zitat von HoeHue:

Und das ist eben kein (strikt) logisches Denken.

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Danke. Man gaukelt eine Realität vor, die keine ist - oder umgekehrt, man fordert die Lerngruppe auf, sämtliche Realitätserfahrungen willkürlich auszublenden, die das angestrebte "idealisierte" Ergebnis normalerweise ("logischerweise") mit beeinflussen würden. Die abstrakte Formulierung wie von @Klaus dargestellt, wäre ehrlich und der Sache angemessen, denn es geht gar nicht um Realität, sondern um Abstracta, die ohne Einflussfaktoren axiomatisch gesetzt sind.

Zitat von Häretiker:

Und es wäre toll, wenn das auch mal explizit im Matheunterricht erwähnt werden würde. Um den Leuten klar zu machen: Wenn ihr irgendwie quantitive Aussagen über die Welt gewinnen wollt, braucht ihr mehr oder weniger beide Aspekte.

Kaum eine Wissemschaft kommt gänzlich ohne aus.

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Perfekt. Und dann kommt noch so ein Häretiker wie ich und behauptet: Folgerichtiges Denken zum Erfassen und Beurteilen von relevanten Gegebenheiten (und die sind in den wenigsten Fällen abstrakt/"idealisiert") ist erheblich mehr als korrektes Rechnen. Folgerichtiges Denken ist die Grundlage jeglicher Deduktion. Die Realität folgt dem Prinzip des infiniten Regresses. Kleines Beispiel: Den aktuellen Konflikt zwischen Madrid und Barcelona kann ich Dir folgerichtig aus der Heiratspolitik einer bestimmten Familie ab dem 15. Jh. ableiten.

Zitat von Barratt:

. Ich lerne also, das Denken tunlichst bleiben zu lassen und die richtige Formel anzuwenden.

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Die diskutierte Aufgabe ist doch gerade ein Beispiel dafür, dass man ohne ein gewisses Maß an Kreativität die Aufgabe nicht gelöst bekommt. Das sieht man schon daran, dass wir hier zwei ziemlich verschiedene Lösungen haben. Die Maschine, der man den Aufgabentext einfüttern kann und die dann die Lösung findet, wird man sobald auch nicht bauen können. (Computereinsatz ist trotzdem sinnvoll, ich nehme an @rafaello hat das trigonometrische Integral nicht per Hand gerechnet. )
Ich finde, dass man mit solchen Aufgaben sehr gut Denken übt. Dass das natürlich nur eine akademische Aufgabe ohne wirkliche Anwendung ist, ist klar, schon Einstein bemerkte: Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit.

Will man praxisrelevante Ergebnisse erzielen, braucht man auch schwerere Geschütze, die aber ohne Beherrschung der für obige Aufgabe notwendigen einfachen Mittel nicht zu begreifen sind. Beispiel: Gauß berechnete die Position des Planeten Ceres, der aufgrund dieser Voraussage wiedergefunden wurde. Dazu entwickelte er eine mathematische Methode (kleinste Qudarate), die noch heute bedeutsam ist.

Zitat von Barratt:

Kleines Beispiel: Den aktuellen Konflikt zwischen Madrid und Barcelona kann ich Dir folgerichtig aus der Heiratspolitik einer bestimmten Familie ab dem 15. Jh. ableiten.

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Ist die Frage, was ableiten bedeutet. Hinterher haben Historiker immer gute Erklärungen, warum dieses oder jenes so kommen musste. Mit präzisen Voraussagen tun sie sich aber schwerer...